SOLUTION OF ONE OF THE PROBLEMS OF HYDROLOGY USING POWER SERIES AND LAPLACE TRANSFORMATION
DOI:
https://doi.org/10.36773/1818-1112-2025-137-2-140-145Keywords:
differential equations, Maclaurin series, Laplace transform, hydrology problems, river flow oscillation modelAbstract
The paper considers a model of long-term fluctuations in river runoff obtained on the basis of the Ornstein-Uhlenbeck stochastic differential equation. The process under consideration, which is a homogeneous in time Markov process of diffusion type, with the corresponding coefficient of drift and diffusion, makes it possible to estimate the mathematical expectation of the probability distribution of changes in river runoff. This parameter is a solution of a second-order differential equation with boundary conditions obtained on the basis of the Fokker-Planck equation and the inverse Kolmogorov equation for the transition probability density.
Unlike using numerical integration of this differential equation, the paper obtains a solution presented in the form of a power series. For this purpose, the paper uses various approaches to solving a differential equation. This is the power series method, which is used to find solutions to differential equations in the form of infinite power series that are expanded in powers of the variable. This is the expansion of a function in a Maclaurin series, which is used to find solutions to differential equations.
The work also uses the Laplace transform, which is usually used only for solving linear differential equations with constant coefficients. This made it possible to obtain a differential equation for the image function of the solution of the original differential equation. The resulting differential equation for the image function was solved by the power series method to obtain the corresponding recurrence relations for the terms of the power series and formulas for calculating them. The inverse Laplace transform was also used to transform the image function into the original function, which is the solution to the corresponding differential equation.
The proposed technique can be used to solve a wider range of stochastic hydrology problems.
References
Найденов, В. И. Нелинейные модели колебаний речного стока / В. И. Найденов, В. И. Швейкина // Водные ресурсы. – 2002. – Т. 29, № 1. – С. 62–67.
Волчек, А. А. Сравнительная оценка марковских и нелинейных моделей годового стока рек Беларуси / А. А. Волчек, С. И. Парфомук // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2006. – № 5. – С. 56–60.
Волчек, А. А. О решении одной стохастической модели многолетних колебаний речного стока / А. А. Волчек, И. И. Гладкий, Л. П. Махнист // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2008. – № 5. – С. 84–87.
Гетман, В. А. Сходимость и свойства решения одного стохастического уравнения / В. А. Гетман, И. И. Гладкий, С. В. Ефимик // Современные проблемы математики и вычислительной техники : материалы VI Респ. науч. конф. молодых ученых и студентов, Брест, 26–28 нояб. 2009 г. : в 2 ч. / Брест. гос. техн. ун-т ; под ред. В. С. Рубанова [и др.]. – Брест, 2009. – Ч. 2. – С. 121–126.
Волчек, А. А. О сходимости решения одной малопараметрической модели многолетних колебаний речного стока / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2009. – № 5. – С. 2–5.
Волчек, А. А. Об асимптотическом поведении параметра одного из распределений вероятностей речного стока / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Проблемы водоснабжения, водоотведения и энергосбережения в западном регионе Республики Беларусь : сб. материалов Междунар. науч.-техн. конф., Брест, 22–23 апр. 2010 г. / Брест. гос. техн. ун-т ; редкол.: С. В. Басов [и др.]. – Брест, 2010. – С. 45–49.
Волчек, А. А. О решении системы дифференциальных уравнений, одной из моделей многолетних колебаний речного стока / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Веснік Брэсцкага ўніверсітэта. Серыя 4, Матэматыка. Фізіка. – 2010. – № 1. – С. 68–77.
Волчек, А. А. О решении системы дифференциальных уравнений, одной из задач стохастической гидрологии / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Международная математическая конференция «Пятые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям» : тез. докл. междунар. науч. конф., Минск, 7–10 дек. 2010 г. / Ин-т математики НАН Беларуси ; редкол.: С. Г. Красовский, А. А. Леваков, С. А. Мазаник. – Минск, 2010. – С. 105.
Волчек, А. А. О параметрах распределения вероятностей диффузионной модели стохастической гидрологии / А. А. Волчек, И. И. Гладкий, Л. П. Махнист // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2010. – № 5. – С. 48–53.
Волчек, А. А. О моментах распределения вероятностей модели диффузионного типа в практике гидрологии / А. А. Волчек, И. И. Гладкий, Л. П. Махнист // Математика и ее приложения : межвуз. сб. науч. тр. / Ассоциация математиков вузов северо-запада ; под ред. Д. П. Голоскокова, А. Р. Шкадовой. – СПб, 2011. – Вып. 3. – С. 139–148.
Махнист, Л. П. Моменты распределения вероятностей модели гидрологии / Л. П. Махнист, А. А. Волчек, И. И. Гладкий // Математические и физические методы исследований: научный и методический аспекты : сб. материалов Респ. науч.-практ. конф., Брест, 22–23 апр. 2021 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. Н. Н. Сендера. – Брест : БрГУ, 2021. – С. 93–95.
Махнист, Л. П. Применение систем компьютерной алгебры для решения модели стохастической гидрологии / Л. П. Махнист, Е. Н. Защук, И. И. Гладкий // Математические и физические методы исследований: научный и методический аспекты : сб. материалов Респ. науч.-практ. конф., Брест, 22–23 апр. 2021 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. Н. Н. Сендера. – Брест, 2021. – С. 96–98.
Махнист, Л. П. Использование систем компьютерной алгебры в задаче гидрологического моделирования / Л. П. Махнист, Е. Н. Защук, И. И. Гладкий // Вычислительные методы, модели и образовательные технологии : сб. материалов Междунар. науч.-практ. конф., Брест, 22 окт. 2021 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. Д. В. Грицука. – Брест, 2021. – С. 54–56.
Махнист, Л. П. К решению задачи гидрологии с использованием систем компьютерной алгебры / Л. П. Махнист, Е. Н. Защук, И. И. Гладкий // Математическое моделирование и новые образовательные технологии в математике : сб. материалов Респ. науч.-практ. конф., Брест, 28–29 апр. 2022 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. А. И. Басика. – Брест, 2022. – С. 17–19.
Меркушевич, П. А. Использование рядов для моделирования одной задачи гидрологии / П. А. Меркушевич, И. Ю. Сверба, Л. П. Махнист // Инновационные технологии обучения физико-математическим дисциплинам : сб. науч. тр. / Мозыр. гос. пед. ун-т им. И. П. Шамякина ; В. В. Давыдовская (отв. ред.) [и др.]. – Мозырь, 2025. – С. 259–261.
Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. А. Корн, Т. М. Корн. – М. : Наука, 1984. – 832 с.
Гладкий, И. И. Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления : методические указания по дисциплине "Высшая математика" для студентов технических специальностей / И. И. Гладкий, М. П. Сидоревич, Т. А. Тузик. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2000. – 52 с.
Гладкий, И. И. Ряды. Теория функции комплексной переменной. Операционное исчисление / И. И. Гладкий, И. В. Лизунова, Т. А. Тузик. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2011. – 39 с.
Differential equations. Multiple integrals. Infinite sequences and series : учебно-методическая разработка на английском языке по дисциплине "Математика" / Брест. гос. техн. ун-т ; сост. И. И. Гладкий, А. В. Дворниченко, Н. А. Дерачиц [и др.]. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2014. – 74 с.
Elements of theory of analytic functions of one complex variable : учебно-методическая разработка на английском языке по дисциплине "Математика" / Брест. гос. техн. ун-т ; сост. И. И. Гладкий, А. В. Дворниченко, Т. И. Каримова [и др.]. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2015. – 49 с.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
The work is provided under the terms of Creative Commons public license Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0). This license allows an unlimited number of persons to reproduce and share the Licensed Material in all media and formats. Any use of the Licensed Material shall contain an identification of its Creator(s) and must be for non-commercial purposes only. Users may not prevent other individuals from taking any actions allowed by the license.
