РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ИЗ ЗАДАЧ ГИДРОЛОГИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
DOI:
https://doi.org/10.36773/1818-1112-2025-137-2-140-145Ключевые слова:
дифференциальные уравнения, ряд Маклорена, преобразование Лапласа, задачи гидрологии, модель колебаний речного стокаАннотация
В работе рассматривается модель многолетних колебаний речного стока, полученная на основе стохастического дифференциального уравнения Орнштейна-Уленбека. Рассматриваемый процесс, который является однородным по времени марковским процессом диффузионного типа, с соответствующим коэффициентом сноса и диффузии, дает возможность оценить математическое ожидание распределения вероятностей изменения речного стока. Этот параметр является решением дифференциального уравнений второго порядка с краевыми условиями, полученными на основе уравнения Фоккера-Планка и обратного уравнения Колмогорова для переходной плотности вероятности.
В отличие от использования численного интегрирования этого дифференциального уравнения, в работе получено решение, представленное в виде степенного ряда. Для этого в работе используются различные подходы к решению дифференциального уравнения. Это и метод степенных рядов, который используется для нахождения решений дифференциальных уравнений в виде бесконечных степенных рядов, которые разлагаются по степеням переменной. Это и разложение функции в ряд Маклорена, который используется для нахождения решений дифференциальных уравнений.
В работе также используется преобразование Лапласа, которое, как правило, применяется лишь для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Это дало возможность получить дифференциальное уравнение для функции изображения решения исходного дифференциального уравнения. Полученное дифференциальное уравнение для функции изображения было решено методом степенных рядов с получением соответствующих рекуррентных соотношений для членов степенного ряда и формул для их вычисления. Также использовалось обратное преобразование Лапласа для преобразования функции изображения в функцию оригинала, которая и является решением соответствующего дифференциального уравнения.
Предлагаемая методика может быть использована для решения более широкого круга задач стохастической гидрологии.
Библиографические ссылки
Найденов, В. И. Нелинейные модели колебаний речного стока / В. И. Найденов, В. И. Швейкина // Водные ресурсы. – 2002. – Т. 29, № 1. – С. 62–67.
Волчек, А. А. Сравнительная оценка марковских и нелинейных моделей годового стока рек Беларуси / А. А. Волчек, С. И. Парфомук // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2006. – № 5. – С. 56–60.
Волчек, А. А. О решении одной стохастической модели многолетних колебаний речного стока / А. А. Волчек, И. И. Гладкий, Л. П. Махнист // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2008. – № 5. – С. 84–87.
Гетман, В. А. Сходимость и свойства решения одного стохастического уравнения / В. А. Гетман, И. И. Гладкий, С. В. Ефимик // Современные проблемы математики и вычислительной техники : материалы VI Респ. науч. конф. молодых ученых и студентов, Брест, 26–28 нояб. 2009 г. : в 2 ч. / Брест. гос. техн. ун-т ; под ред. В. С. Рубанова [и др.]. – Брест, 2009. – Ч. 2. – С. 121–126.
Волчек, А. А. О сходимости решения одной малопараметрической модели многолетних колебаний речного стока / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2009. – № 5. – С. 2–5.
Волчек, А. А. Об асимптотическом поведении параметра одного из распределений вероятностей речного стока / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Проблемы водоснабжения, водоотведения и энергосбережения в западном регионе Республики Беларусь : сб. материалов Междунар. науч.-техн. конф., Брест, 22–23 апр. 2010 г. / Брест. гос. техн. ун-т ; редкол.: С. В. Басов [и др.]. – Брест, 2010. – С. 45–49.
Волчек, А. А. О решении системы дифференциальных уравнений, одной из моделей многолетних колебаний речного стока / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Веснік Брэсцкага ўніверсітэта. Серыя 4, Матэматыка. Фізіка. – 2010. – № 1. – С. 68–77.
Волчек, А. А. О решении системы дифференциальных уравнений, одной из задач стохастической гидрологии / А. А. Волчек, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов // Международная математическая конференция «Пятые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям» : тез. докл. междунар. науч. конф., Минск, 7–10 дек. 2010 г. / Ин-т математики НАН Беларуси ; редкол.: С. Г. Красовский, А. А. Леваков, С. А. Мазаник. – Минск, 2010. – С. 105.
Волчек, А. А. О параметрах распределения вероятностей диффузионной модели стохастической гидрологии / А. А. Волчек, И. И. Гладкий, Л. П. Махнист // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия: Физика, математика, информатика. – 2010. – № 5. – С. 48–53.
Волчек, А. А. О моментах распределения вероятностей модели диффузионного типа в практике гидрологии / А. А. Волчек, И. И. Гладкий, Л. П. Махнист // Математика и ее приложения : межвуз. сб. науч. тр. / Ассоциация математиков вузов северо-запада ; под ред. Д. П. Голоскокова, А. Р. Шкадовой. – СПб, 2011. – Вып. 3. – С. 139–148.
Махнист, Л. П. Моменты распределения вероятностей модели гидрологии / Л. П. Махнист, А. А. Волчек, И. И. Гладкий // Математические и физические методы исследований: научный и методический аспекты : сб. материалов Респ. науч.-практ. конф., Брест, 22–23 апр. 2021 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. Н. Н. Сендера. – Брест : БрГУ, 2021. – С. 93–95.
Махнист, Л. П. Применение систем компьютерной алгебры для решения модели стохастической гидрологии / Л. П. Махнист, Е. Н. Защук, И. И. Гладкий // Математические и физические методы исследований: научный и методический аспекты : сб. материалов Респ. науч.-практ. конф., Брест, 22–23 апр. 2021 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. Н. Н. Сендера. – Брест, 2021. – С. 96–98.
Махнист, Л. П. Использование систем компьютерной алгебры в задаче гидрологического моделирования / Л. П. Махнист, Е. Н. Защук, И. И. Гладкий // Вычислительные методы, модели и образовательные технологии : сб. материалов Междунар. науч.-практ. конф., Брест, 22 окт. 2021 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. Д. В. Грицука. – Брест, 2021. – С. 54–56.
Махнист, Л. П. К решению задачи гидрологии с использованием систем компьютерной алгебры / Л. П. Махнист, Е. Н. Защук, И. И. Гладкий // Математическое моделирование и новые образовательные технологии в математике : сб. материалов Респ. науч.-практ. конф., Брест, 28–29 апр. 2022 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина ; под общ. ред. А. И. Басика. – Брест, 2022. – С. 17–19.
Меркушевич, П. А. Использование рядов для моделирования одной задачи гидрологии / П. А. Меркушевич, И. Ю. Сверба, Л. П. Махнист // Инновационные технологии обучения физико-математическим дисциплинам : сб. науч. тр. / Мозыр. гос. пед. ун-т им. И. П. Шамякина ; В. В. Давыдовская (отв. ред.) [и др.]. – Мозырь, 2025. – С. 259–261.
Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. А. Корн, Т. М. Корн. – М. : Наука, 1984. – 832 с.
Гладкий, И. И. Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления : методические указания по дисциплине "Высшая математика" для студентов технических специальностей / И. И. Гладкий, М. П. Сидоревич, Т. А. Тузик. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2000. – 52 с.
Гладкий, И. И. Ряды. Теория функции комплексной переменной. Операционное исчисление / И. И. Гладкий, И. В. Лизунова, Т. А. Тузик. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2011. – 39 с.
Differential equations. Multiple integrals. Infinite sequences and series : учебно-методическая разработка на английском языке по дисциплине "Математика" / Брест. гос. техн. ун-т ; сост. И. И. Гладкий, А. В. Дворниченко, Н. А. Дерачиц [и др.]. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2014. – 74 с.
Elements of theory of analytic functions of one complex variable : учебно-методическая разработка на английском языке по дисциплине "Математика" / Брест. гос. техн. ун-т ; сост. И. И. Гладкий, А. В. Дворниченко, Т. И. Каримова [и др.]. – Брест : Брест. гос. техн. ун-т, 2015. – 49 с.
Загрузки
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Лицензия
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
Авторы предоставляют материалы на условиях лицензии CC BY-NC 4.0. Эта лицензия позволяет неограниченному кругу лиц копировать и распространять материал на любом носителе и в любом формате, но с обязательным указанием авторства и только в некоммерческих целях. Пользователи не вправе препятствовать другим лицам выполнять действия, разрешенные лицензией.
